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1、什么是图？

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。如下图

顶点(vertex)：每一个连接点叫做顶点。

边(edge)：两个结点之间的连接称为边。 路径：两个顶点之间的连接叫做路径，例如1-> 2.

无向图

如果一个图结构中，所有的边都没有方向性，那么这种图便称为无向图。由于无向图中的边没有方向性，这样我们在表示边的时候对两个顶点的顺序没有要求。例如顶点VI和顶点V5之间的边，可以表示为(V2， V6),也可以表示为(V6，V2)。

有向图

一个图结构中，边是有方向性的，那么这种图就称为有向图，我们在表示边的时候对两个顶点的顺序就有要求。我们采用尖括号表示有向边，例如<V2，V6>表示从顶点V2到顶点V6，而<V6，V2>表示顶点V6到顶点V2。

顶点的度

连接顶点的边的数量称为该顶点的度。顶点的度在有向图和无向图中具有不同的表示。对于无向图，一个顶点V的度比较简单，其是连接该顶点的边的数量，记为D(V) 对于有向图要稍复杂些，根据连接顶点V的边的方向性，一个顶点的度有入度和出度之分。

• 入度是以该顶点为端点的入边数量， 记为ID(V)。
• 出度是以该顶点为端点的出边数量， 记为OD(V)。
  这样，有向图中，一个顶点V的总度便是入度和出度之和，即D(V) = ID(V) + OD(V)。

邻接顶点

邻接顶点是指图结构中一条边的两个顶点。 邻接顶点在有向图和无向图中具有不同的表示。对于无向图，邻接顶点比较简单。例如，下面的无向图中，顶点V2和顶点V6互为邻接顶点，顶点V2和顶点V5互为邻接顶点等。

对于有向图要稍复杂些，根据连接顶点V的边的方向性，两个顶点分别称为起始顶点(起点或始点)和结束顶点(终点)。有向图的邻接顶点分为两类：

• 入边邻接顶点：连接该顶点的边中的起始顶点。例如，对于组成<V2，V6>这条边的两个顶点，V2是V6的入边邻接顶点。
• 出边邻接顶点：连接该顶点的边中的结束顶点。例如，对于组成<V2，V6>这条边的两个顶点，V6是V2的出边邻接顶点。

无向完全图

如果在一个无向图中， 每两个顶点之间都存在条边，那么这种图结构称为无向完全图。典型的无向完全图，

理论上可以证明，对于一个包含M个顶点的无向完全图，其总边数为M(M-1)/2。比如上图总边数就是5（5-1）/ 2 = 10。

有向完全图

如果在一个有向图中，每两个顶点之间都存在方向相反的两条边，那么这种图结构称为有向完全图。典型的有向完全图，如图五所示。 理论上可以证明，对于一个包含N的顶点的有向完全图，其总的边数为N(N-1)。这是无向完全图的两倍，这个也很好理解，因为每两个顶点之间需要两条边。

有向无环图

如果一个有向图无法从某个顶点出发经过若干条边回到该点，则这个图是一个有向无环图。

带权图：这种边带权值的图也叫网.

2、图的表示方式

图的表示方式有两种：

• 二维数组表示（邻接矩阵）；
• 链表表示（邻接表）；

2.1、邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点。

2.2、邻接表

邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.

邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

说明:

标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4 标号为1的结点的相关联结点为0 4， 标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5 …

3、图遍历

3.1、深度优先遍历

1. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程/

深度优先遍历算法步骤

1. 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。
2. 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
3. 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。
4. 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。
5. 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。

package com.atguigu.graph;import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import java.util.LinkedList;public class Graph {   	private ArrayList
   
     vertexList; //存储顶点集合	private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵	private int numOfEdges; //表示边的数目	//定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问	private boolean[] isVisited;		public static void main(String[] args) {   		//测试一把图是否创建ok		int n = 8;  //结点的个数		String Vertexs[] = {   "A", "B", "C", "D", "E"};//		String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};				//创建图对象		Graph graph = new Graph(n);		//循环的添加顶点		for(String vertex: Vertexs) {   			graph.insertVertex(vertex);		}				//添加边		//A-B A-C B-C B-D B-E 		graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B		graph.insertEdge(0, 2, 1); // 		graph.insertEdge(1, 2, 1); // 		graph.insertEdge(1, 3, 1); // 		graph.insertEdge(1, 4, 1); // 				//更新边的关系//		graph.insertEdge(0, 1, 1);//		graph.insertEdge(0, 2, 1);//		graph.insertEdge(1, 3, 1);//		graph.insertEdge(1, 4, 1);//		graph.insertEdge(3, 7, 1);//		graph.insertEdge(4, 7, 1);//		graph.insertEdge(2, 5, 1);//		graph.insertEdge(2, 6, 1);//		graph.insertEdge(5, 6, 1);						//显示一把邻结矩阵		graph.showGraph();				//测试一把，我们的dfs遍历是否ok		System.out.println("深度遍历");		graph.dfs(); // A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7]//		System.out.println();		System.out.println("广度优先!");		graph.bfs(); // A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8]			}		//构造器	public Graph(int n) {   		//初始化矩阵和vertexList		edges = new int[n][n];		vertexList = new ArrayList
    
     (n);		numOfEdges = 0;			}		//得到第一个邻接结点的下标 w 	/**	 * 	 * @param index 	 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1	 */	public int getFirstNeighbor(int index) {   		for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {   			if(edges[index][j] > 0) {   				return j;			}		}		return -1;	}	//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {   		for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {   			if(edges[v1][j] > 0) {   				return j;			}		}		return -1;	}		//深度优先遍历算法	//i 第一次就是 0	private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {   		//首先我们访问该结点,输出		System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");		//将结点设置为已经访问		isVisited[i] = true;		//查找结点i的第一个邻接结点w		int w = getFirstNeighbor(i);		while(w != -1) {   //说明有			if(!isVisited[w]) {   				dfs(isVisited, w);			}			//如果w结点已经被访问过			w = getNextNeighbor(i, w);		}			}		//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs	public void dfs() {   		isVisited = new boolean[vertexList.size()];		//遍历所有的结点，进行dfs[回溯]		for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {   			if(!isVisited[i]) {   				dfs(isVisited, i);			}		}	}		//图中常用的方法	//返回结点的个数	public int getNumOfVertex() {   		return vertexList.size();	}	//显示图对应的矩阵	public void showGraph() {   		for(int[] link : edges) {   			System.err.println(Arrays.toString(link));		}	}	//得到边的数目	public int getNumOfEdges() {   		return numOfEdges;	}	//返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"	public String getValueByIndex(int i) {   		return vertexList.get(i);	}	//返回v1和v2的权值	public int getWeight(int v1, int v2) {   		return edges[v1][v2];	}	//插入结点	public void insertVertex(String vertex) {   		vertexList.add(vertex);	}	//添加边	/**	 * 	 * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点  "A"-"B" "A"->0 "B"->1	 * @param v2 第二个顶点对应的下标	 * @param weight 表示 	 */	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {   		edges[v1][v2] = weight;		edges[v2][v1] = weight;		numOfEdges++;	}}
    
   

3.2、广度优先遍历

广度优先遍历基本思想:

1. 图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
2. 类似于一个 分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来
   访问这些结点的邻接结点。

广度优先遍历算法步骤：

1. 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
2. 结点 v 入队列
3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4. 出队列，取得队头结点 u。
5. 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
6. 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：
   6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
   6.2 结点 w 入队列
   6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。
   

package com.atguigu.graph;import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import java.util.LinkedList;public class Graph {   	private ArrayList
   
     vertexList; //存储顶点集合	private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵	private int numOfEdges; //表示边的数目	//定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问	private boolean[] isVisited;	public static void main(String[] args) {   		//测试一把图是否创建ok		int n = 8;  //结点的个数		String Vertexs[] = {   "A", "B", "C", "D", "E"};//		String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};		//创建图对象		Graph graph = new Graph(n);		//循环的添加顶点		for(String vertex: Vertexs) {   			graph.insertVertex(vertex);		}		//添加边		//A-B A-C B-C B-D B-E		graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B		graph.insertEdge(0, 2, 1); //		graph.insertEdge(1, 2, 1); //		graph.insertEdge(1, 3, 1); //		graph.insertEdge(1, 4, 1); //		//更新边的关系//		graph.insertEdge(0, 1, 1);//		graph.insertEdge(0, 2, 1);//		graph.insertEdge(1, 3, 1);//		graph.insertEdge(1, 4, 1);//		graph.insertEdge(3, 7, 1);//		graph.insertEdge(4, 7, 1);//		graph.insertEdge(2, 5, 1);//		graph.insertEdge(2, 6, 1);//		graph.insertEdge(5, 6, 1);				//显示一把邻结矩阵		graph.showGraph();		//测试一把，我们的dfs遍历是否ok		System.out.println("深度遍历");		graph.dfs(); // A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7]//		System.out.println();		System.out.println("广度优先!");		graph.bfs(); // A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8]	}	//构造器	public Graph(int n) {   		//初始化矩阵和vertexList		edges = new int[n][n];		vertexList = new ArrayList
    
     (n);		numOfEdges = 0;	}	//得到第一个邻接结点的下标 w	/**	 *	 * @param index	 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1	 */	public int getFirstNeighbor(int index) {   		for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {   			if(edges[index][j] > 0) {   				return j;			}		}		return -1;	}	//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {   		for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {   			if(edges[v1][j] > 0) {   				return j;			}		}		return -1;	}	//深度优先遍历算法	//i 第一次就是 0	private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {   		//首先我们访问该结点,输出		System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");		//将结点设置为已经访问		isVisited[i] = true;		//查找结点i的第一个邻接结点w		int w = getFirstNeighbor(i);		while(w != -1) {   //说明有			if(!isVisited[w]) {   				dfs(isVisited, w);			}			//如果w结点已经被访问过			w = getNextNeighbor(i, w);		}	}	//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs	public void dfs() {   		isVisited = new boolean[vertexList.size()];		//遍历所有的结点，进行dfs[回溯]		for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {   			if(!isVisited[i]) {   				dfs(isVisited, i);			}		}	}	//对一个结点进行广度优先遍历的方法	private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {   		int u ; // 表示队列的头结点对应下标		int w ; // 邻接结点w		//队列，记录结点访问的顺序		LinkedList queue = new LinkedList();		//访问结点，输出结点信息		System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");		//标记为已访问		isVisited[i] = true;		//将结点加入队列		queue.addLast(i);		while( !queue.isEmpty()) {   			//取出队列的头结点下标			u = (Integer)queue.removeFirst();			//得到第一个邻接结点的下标 w			w = getFirstNeighbor(u);			while(w != -1) {   //找到				//是否访问过				if(!isVisited[w]) {   					System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");					//标记已经访问					isVisited[w] = true;					//入队					queue.addLast(w);				}				//以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点				w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先			}		}	}	//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索	public void bfs() {   		isVisited = new boolean[vertexList.size()];		for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {   			if(!isVisited[i]) {   				bfs(isVisited, i);			}		}	}	//图中常用的方法	//返回结点的个数	public int getNumOfVertex() {   		return vertexList.size();	}	//显示图对应的矩阵	public void showGraph() {   		for(int[] link : edges) {   			System.err.println(Arrays.toString(link));		}	}	//得到边的数目	public int getNumOfEdges() {   		return numOfEdges;	}	//返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"	public String getValueByIndex(int i) {   		return vertexList.get(i);	}	//返回v1和v2的权值	public int getWeight(int v1, int v2) {   		return edges[v1][v2];	}	//插入结点	public void insertVertex(String vertex) {   		vertexList.add(vertex);	}	//添加边	/**	 *	 * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点  "A"-"B" "A"->0 "B"->1	 * @param v2 第二个顶点对应的下标	 * @param weight 表示	 */	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {   		edges[v1][v2] = weight;		edges[v2][v1] = weight;		numOfEdges++;	}}
    
   

4、 总结

虽然广度优先搜索和深度优先搜索在搜索顺序上有很大的差异，但是在操作步骤上却只有一点不同，那就是选择哪一个候补节点作为下一个节点的基准不同。

• 广度优先搜索选择的是最早成为候补的节点，因为节点离起点越近就越早成为候补，所以会从离起点近的地方开始按顺序搜索；
• 而深度优先搜索选择的则是最新成为候补的节点，所以会一路往下，沿着新发现的路径不断深入搜索。

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